Geometri Non Euclid

Q lebih suka menyebut mata kuliah ini sebagai ‘geometri aneh’. Abis emang kuliah ini, membahas soaL geometri yang tak lazim. misalnya neh, dalam sebuah segitiga, jumlah sudutnya ga selalu 180 derajat. tapi bisa juga 270 derajat lhoh… owh ya, buat temen2 1 rombelQ (rombel 01) ambil materinya di sini neh… ujian open book kan???
1. Geometri terurut

KONSEP URUTAN

6 (aksioma Pasch)

Andaikan g sebuah garis yang sebidang dengan titik A, B, C tetapi g tidak melalui A, B atau C. Apabila g mamotong         maka g memotong        atau           tetapi tidak duaduanya.

Perhatikan juga bahwa U6 juga berlaku apabila A, B, C berlainan dan segaris atau apabila C = A atau C = B.

lihat materi selengkapanya.

2. Geometri Netral

adalah Geometri yang dilengkapi dengan sistem aksioma-aksioma insidensi, sistem aksioma-aksioma urutan, sistem aksioma kekongruenan (ruas garis, sudut, segitiga) dan sistem aksioma-aksioma archiemedes.

lihat materi selengkapanya.

3. Geometri Insidensi

Teorema 1 :

Jika dua garis berbeda berpotongan maka perpotongannya pada tepat satu titik.

Bukti:

Misalkan garis itu l dan m.

Jika l dan m berpotongan menurut definisi mereka berpotongan pada minimal satu titik, sebut P.

Andaikan l dan m juga berpotongan di Q, maka melalui P dan Q terdapat garis PQ, sehingga melalui P dan Q ada lebih dari garis.

Kontradiksi dengan aksioma 1 insidensi.

Terbukti l dan m berpotongan pada tepat satu titik.

lihat materi selengkapanya.

4. Geometri topologi

Dimensi topologi rendah sangat geometris, sebagaimana tercermin dalam teorema uniformization dalam dimensi-2 yang mengatakan bahwa

setiap permukaan mengakui sebuah kelengkungan konstan metrik, geometris, ia memiliki salah satu dari 3 kemungkinan geometri: kelengkungan positif / bulat, nol kelengkungan / datar, kelengkungan negatif / hiperbolik

lihat materi selengkapanya.

5. Geometri Eliptik

Georg Friedrich Bernhard Riemann
(17 September 1826 – 20 Juli 1866)

Pada tahun 1954 Riemann membacakan disertasinya tentang penemuannya yang baru di Fakultas Filsafat Gottingen. Ia memulai dengan asumsi : Garis-garis adalah tidak terbatas, tetapi panjangnya berhingga. Riemann tidak mengindahkan postulat kesejajaran dari geometri eucklides maupun dari geometri hiperbolik. Postulat kesejajaran dari Riemann adalah: Tidak ada garis-garis yang sejajar dengan garis lain. Jadi menurutnya, dua garis selalu berpotongan dan tidak ada dua garis sejajar. Untuk selanjutnya geometri elliptik dikenal sebagai Geometri Riemann.

lihat materi selengkapanya.

6.Geometri Hiperbolik

A. Sejarah Geometri Hiperbolik

Geometri hiperbolik, pertama dikembangkan oleh keluarga Bolyai. Seorang matematikawan Austria “Farkas Wolfgang Bolyai” (1775-1856) lah yang mula-mula menaruh minat utamanya pada dasar-dasar geometri  dari postulat kelima Euclid, postulat kesejajaran. Selesai kuliah di Gottingen tahun 1799, pulang ke Hongaria dan mengajar matematika, fisika dan kimia pada Reformed College. Wolfgang mengajari pula anaknya sendiri  Janos Bolyai. Putus asa dengan Postulat kesejajaran yang diketahuinya mempunyai kejanggalan namun tidak dapat dibuktikannya membuat dia menulis surat kepada anaknya :

Jangan berkutat dengan postulat kesejajaran, karena akan mengurangi kenyamanan,kesehatan, dan ketenangan dan seluruh kebahagiaan dalam hidup ini.

Sang anak Janos Bolyai, pada usia 21 tahun melanggar larangan ayahnya. Ia melanjutkan kepenasaran sang ayah yang menemukan kejanggalan postulat tersebut. Janos berhasil mengembangkan geometri yang beda dengan postulat kelima  Euclid dan mencetuskan geometri Non-Euclid dengan cara yang berbeda dengan Nicolai Lobachevsky, yang kemudian dikenal dengan geometri hiperbolik. (http://mate-mati-kaku.com/asal-asal/geometri)

Demikianlah balasan surat Janos Bolyai kepada ayahnya Wolfgang Bolyai

I have discovered such wonderful things that I was amazed …

Out of nothing I have created a strange new universe.

~ Janos Bolyai (1802-1860), from a letter to his father, 1823. (Hvidsten, M, 2005, h. 263)

lihat materi selengkapanya.

7. Geometri fraktal

Fraktal juga bisa dikelompokkan berdasarkan keserupa diriannya. Ada tiga tingkat keperupadirian pada fraktal:

  • Serupa diri secara persis — Ini adalah keserupa dirian yang paling kuat. Fraktalnya terlihat sama persis pada berbagai skala. Fraktal yang didefinisikan oleh sistem fungsi teriterasi biasanya bersifat serupa diri secara persis.
  • Serupa diri secara lemah — Ini adalah keserupa dirian yang tidak terlalu ketat. Fraktalnya terlihat mirip (tapi tidak persis sama) pada skala yang berbeda. Fraktal jenis ini memuat salinan dirinya sendiri dalam bentuk yang terdistorsi maupun rusak.
  • Serupa diri secara statistik — Ini adalah kererupadirian yang paling lemah. Fraktalnya memiliki ukuran numeris atau statistik yang terjaga pada skala yang berbeda. Kebanyakan definisi fraktal yang wajar secara trivial mengharuskan suatu bentuk keserupa dirian statistik. Dimensi fraktal sendiri adalah ukuran numeris yang nilainya terjaga pada berbagai skala. Fraktal acak adalah contoh fraktal yang serupa diri secara statistik, tapi tidak serupa diri secara persis maupun lemah.

lihat materi selengkapanya.

Comments
  1. Dik Tenso says:

    Trims bwt e-booknya mbak…

  2. nugi says:

    thans dah bagi2 ilmunya

  3. makasih, teo 1 geo insidensi, akhirnya nyambung jugaa, (lola kali aku rupanyaa)

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s